Algèbre de Boole et simplification des expressions algébrique

 

Algèbre de Boole

L'électronique numérique est constituée de circuits électroniques qui remplissent des fonctions spécifiques. Comme nous l'avons vu dans les articles précédents, ces fonctions peuvent être exprimées sous forme d'équations algébriques. De plus, tous les circuits électroniques numériques sont essentiellement composés de portes logiques, qui ont des fonctions simples pouvant être exprimées mathématiquement par des équations appelées expressions booléennes. On sait que l'électronique numérique fonctionne uniquement dans le système binaire, ce qui signifie que les entrées et les sorties ne prennent que deux valeurs : 0 ou 1. Par conséquent, dans les expressions booléennes des fonctions logiques, les variables peuvent être remplacées par les valeurs 0 ou 1. Cela nécessite des mathématiques et des règles spécifiques pour traiter ce type d'équations algébriques. Cette branche des mathématiques est appelée algèbre booléenne, du nom du mathématicien "George Boole".

simplification des expressions algébrique

Diversité des expressions algébriques pour une même fonction logique:

Il est important de souligner qu'une même fonction logique peut être exprimée par de multiples équations algébriques. En d'autres termes, il existe une multitude d'expressions booléennes différentes qui représentent la même fonction logique. Par conséquent, il est possible de concevoir des circuits électroniques aux structures variées mais qui accomplissent la même fonction. La principale différence réside dans le nombre de portes logiques employées.
Prenons l'exemple d'une fonction logique. Il est envisageable de la réaliser à l'aide d'un circuit électronique composé de 20 portes logiques ou d'un autre utilisant seulement 4 portes logiques, tout en conservant la même fonctionnalité.

Minimisation du nombre de portes logiques dans les circuits électroniques

Il est naturel de privilégier la conception de circuits électroniques avec le minimum de portes logiques possible. Cela permet de réduire les coûts de fabrication et de minimiser la taille du circuit. Mais comment y parvenir ? C'est là que l'algèbre booléenne joue un rôle crucial. Elle nous offre des outils puissants pour simplifier les expressions booléennes complexes en des expressions plus concises et plus simples, tout en préservant la fonction logique initiale. Pour ce faire, l'algèbre booléenne s'appuie sur un ensemble de règles et de lois, appelées lois de l'algèbre booléenne, que nous allons explorer dans cet article.

Les opérations logiques

Les opérations logiques, également appelées opérateurs logiques, sont des opérations fondamentales utilisées en logique booléenne et en électronique numérique pour traiter et manipuler des valeurs booléennes, qui représentent des états binaires (0 ou 1). Elles permettent de combiner des propositions logiques et d'obtenir des résultats booléens. Les opérations logiques les plus courantes sont :
Opération (NON ou inverseur):
L'opération de négation, notée par un barre ou un trait au-dessus (  ) , inverse la valeur d'une proposition logique. Elle représente la fonction de porte logique NON
Par exemple, si A représente une proposition logique, alors (A) représente sa négation. Si A est 1, A sera 0, et vice versa.
Opération logique (OU):
L'opération logique OU, également connue sous le nom de disjonction, est une opération booléenne fondamentale qui combine deux propositions logiques pour obtenir une nouvelle proposition logique. Elle est représentée par les symboles (+)
Opération logique (ET):
L'opération logique ET, également connue sous le nom de conjonction, est une opération fondamentale en logique booléenne et en électronique numérique. L'opération ET est généralement représentée par le symboles (.). Elle représente la fonction de porte logique ET,
Opération logique (OU-Exclusif):
L'opération logique OU-Exclusif, également connue sous le nom de disjonction exclusive, XOR (eXclusive OR) ou somme binaire, est une opération fondamentale en logique booléenne et en électronique numérique. L'opération OU-Exclusif est généralement représentée par le symbole ⊕

théorèmes de l'algèbre de Boole

L'algèbre de Boole repose sur un ensemble de théorèmes fondamentaux qui définissent les propriétés et les relations entre les opérations logiques (ET, OU, NON, etc.). Ces théorèmes permettent de simplifier des expressions booléennes complexes, d'optimiser des circuits logiques et de vérifier la correction de systèmes numériques.
L'étude sur la logique booléenne, vous permet d'apprendre que l'algèbre booléenne dispose d'un ensemble de règles de base. Ces règles sont :

les postulats de l'algébre de Boole

théorème de l'invariance

A+1=1, A.0=0: Le théorème de l'invariance en algèbre booléenne stipule que lorsqu'une entrée d'une fonction booléenne est fixée à une valeur constante (0 ou 1) et que les autres entrées prennent des valeurs variables, la valeur de sortie reste inchangée et conserve la valeur de l'entrée fixée.

théorème de l'élément neutre

A.1=A, A+0=A: Le théorème de l'élément neutre en algèbre booléenne stipule que lorsqu'une entrée d'une fonction booléenne est reliée à une constante neutre de l'opération booléenne correspondante, la valeur de sortie est toujours la même que la valeur de l'autre entrée.
Ce théorème découle des propriétés des éléments neutres des opérations booléennes (ET et OU). En effet, l'élément neutre du ET est 1 , et l'élément neutre du OU est 0 . Si une entrée est reliée à l'élément neutre, elle n'a aucun effet sur le résultat de l'opération booléenne.

théorème de l'idempotence

A.A=A, A+A=A: Le théorème de l'idempotence en algèbre booléenne stipule que lorsqu'une fonction booléenne reçoit la même valeur en entrée sur toutes ses entrées, la valeur de sortie est toujours égale à cette valeur d'entrée.
Ce théorème découle des propriétés commutatives et associatives des opérations booléennes (ET et OU). En effet, si toutes les entrées ont la même valeur, l'ordre et le regroupement des opérations n'ont aucun effet sur le résultat final.

théorème de complémentarité

A.A=0, A+A=1: Le théorème de complémentarité en algèbre booléenne établit une relation fondamentale entre une proposition et sa négation dans le cadre des opérations booléennes "ET" et "OU". Il stipule que :
Pour toute proposition A, la disjonction (OU) de A et sa négation A est toujours vraie (étatlogique 1).
Pour toute proposition A, la conjonction (ET) de A et sa négation A est toujours fauss (état logique 0 )

théorème d'involution

Le théorème d'involution en algèbre booléenne, également connu sous le nom de théorème de double négation, stipule que la négation d'une proposition booléenne répétée un nombre pair de fois donne la proposition d'origine, tandis que la négation répétée un nombre impair de fois donne la négation de la proposition d'origine.